​经典的“半特殊角”18°的三角函数求值

经典的“半特殊角”18°的三角函数求值

18°是一个稍有特殊的角度，因为其正好是直角(90°)的五分之一。这个角的三角函数值是比较规则的形式，如何计算呢？

自然的想法，一定是通过倍角和两角和的公式进行计算。

我们知道二倍角公式为：

sin2θ=2sinθcosθ

cos2θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ

三倍角公式为：

sin3θ=3sinθ-4sin³θ

cos3θ=4cos³θ-3cosθ

于是我们可以凑一个表达式来进行计算。

令θ=18°，由诱导公式可知：

cos3θ=sin2θ （即sin54°=cos36°）

使用三倍角公式展开得：

4cos³θ-3cosθ=2sinθcosθ

（为什么用cos3θ=sin2θ这个表达式？因为这样展开可以约掉cosθ，关键就在这里）

因为cosθ≠0，于是两边约掉cosθ，有：

4cos²θ-3=2sinθ

又因为cos²θ=1-sin²θ，于是表达式转化为关于sinθ的一元二次方程：

4(1-sin²θ)-3=2sinθ

整理得：

4sin²θ+2sinθ-1=0 （其中0<sinθ<1）

解得